곱셈공식에 대한 아이디어 네가지

네가지 아이디어

 

[전개]
$(x+1)(x+1)=x^2 +x+x+1=x^2 +2x+1$

 

[세로곱]

\begin{matrix}      
\,&\,&x^2&+&2x&+&1\\     
\times&\,&\,&\,&x&+&1\\ \hline     
\,&\,&x^2&+&2x&+&1\\    
x^3&+&2x^2&+&x&\,&\, \\ \hline   
x^3&+&3x^2&+&3x&+&1   
\end{matrix}

 

 

$\qquad x+1 \\
\underline{\times \quad \; x+1 \;} \\
\qquad x+1 \\
\underline{x^2 +x \qquad \;} \\
x^2 +2x+1$

 

$\qquad x^2 +2x+1 \\ 
\underline{\times \qquad \quad x+1 \;} \\ 
\qquad  x^2 +2x+1 \\ 
\underline{x^3 +2x^2 + x \qquad \;} \\ 
x^3 +3x^2 +3x +1$

 

\begin{equation}  
\dfrac 
{\begin{array}[b]{r} x + 1 \\ \times \quad x + 1\end{array}} 
{\dfrac{\begin{array}[b]{r} x + 1 \, \\ x^2 + x \qquad \end{array}} {x^2 + 2x +1} }  
\end{equation}

 

\begin{equation}
\dfrac 
{\begin{array}[b]{r} \qquad x^2 +2x + 1 \\ \times \qquad \quad x + 1\end{array}} 
{\dfrac{\begin{array}[b]{r} x^2 +2x + 1 \\ x^3 + 2x^2 + x \qquad \; \end{array}} {x^3 + 3x^2 +3x  +1} }  
\end{equation}
여기에서 $x$를 제거하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation}  
\dfrac   
{\begin{array}[b]{r} 1+2+1 \\ \times 1+1\end{array}}   
{\dfrac{\begin{array}[b]{r} 1+2+1 \\ 1+2+1 \end{array}} {1+3+3+1} }    
\end{equation}
이를 이용해 다음과 같은 복잡한 전개를 수월하게 할 수 있다.
\begin{equation}  
\dfrac   
{\begin{array}[b]{r} 1+3+4-1 \\ \times 2+3\end{array}}   
{\dfrac{\begin{array}[b]{r} 3+9+12-3 \\ 2+6+8-2 \end{array}} {2+9+17+10-3} }    
\end{equation}

즉,

$(x^3 +3x^2 +4x -1)(2x+3)=2x^4 +9x^3 +17x^2 +10x -3$

이 됨을 확인 할 수 있다.

 

이를 이용하면 파스칼의 삼각형을 만들어 볼 수 있다.

$ \quad \quad \quad \quad \quad 1$ 
$ \quad \quad \quad \quad 1+1$ 
$ \quad \quad \quad1+2+1$ 
$ \quad \quad 1+3+3+1$ 
$\, \quad 1+4+6+4+1$ 
$1+5+10+10+5+1$

...

여기서 $x$를 입히면 $(x+1)^n$을 얻어낼 수 있다.

 

이를 역으로 이용하여 조립제법을 증명해낼 수 있다.

 

[경우의 수]

$(x+1)(x+1)=x^2 +x+x+1=x^2 +2x+1$

위와 같은 전개식에서

$(\qquad )(\qquad )$ 를 두 주머니로 해석하면 하나의 주머니에 들어있는 문자는 $x$와 $1$ 로 두가지이다. 이 상황에서 뽑을 수 있는 경우의 수는 $2 \times 2=4$로 $4$가지이고 이 종류는 $x^2$, $x$, $1$의 세가지 인데, $x$를 하나만 뽑는 경우의 수는 총 두가지임을 확인 할 수 있다.

이를 이용하면

$(x+a)(x+b)(x+c)$의 세개 주머니에는 각각$(x, a)$, $(x, b)$, $(x, c)$의 원소가 들어가 있고, 이를 이용해 각각 한 문자씩 뽑으면 만들수 있는 곱의 형식은 $x^3$, $x^2$, $x$, $1$을 만족한다.

항	경우의 수	각 경우
$x^3$	1	$xxx$
$x^2$	3	$axx$, $xbx$, $xxc$
$x$	3	$abx$, $xbc$, $axc$
$1$	1	$111$

 

 

 

[식의 작성]